PRESENTATION DU PROGRAMME

L'excutable "Minum" tlchargeable permet l'observation en une seule figure 
le graphe de toutes les fractions des nombres infrieurs  3000, dans toutes les bases, fussent-elles infinies.

Prenons lexemple du nombre 21 et regardons comment il peut tre reprsent graphiquement lors de la division par 21 dun nombre quelconque (que lon appelle dividende).

Au premier dmarrage le programme (qui steint en appuyant deux fois sur la touche <Esc>) affiche le nombre et la base fixs dans son fichier de configuration (Minum.ini aux rubriques Nombre=21 et Base=10 qui seront traits dans lexemple ci-dessous).

On trouve en haut  gauche  la premire ligne, en orange, le nombre dont on va dcouvrir les graphes des dividendes. A la deuxime, en jaune ; on trouve  non premier  sinon, la dcomposition en facteurs premier de p-1. A la troisime, en orange, on trouve la base 10 pour simplifier. A la quatrime on trouve la dcomposition en facteurs premiers de la base soit pour 10, 5*2.

Le programme compte ensuite les priodes primaires : soit deux priode de 1 (7 /21 et 14/21). Et les trois priodes primaires de 1/21, 3/21 et 5/21 en base 10, qui comportent chacune 6 chiffres sur toute leur longueur et la dcomposition de 6 en facteurs premiers cest--dire 2*3. On a 3 priodes de 6 chiffres, tous distincts et 2 dun chiffre ; le total est donc 3*6=18 et 2*1=2, 18+2 = 20 comme total des longueurs des priodes de tous les dividendes primaires. Ce nombre 20 est maximal pour n/21 on le trouve dans la barre de niveau en haut  droite de lcran, et plus bas la valeur numrique de cette barre de niveau.

Si lon n'a touch  rien, figure seulement un tableau  droite qui contient deux colonnes : Celle du dividende  choisir et celle de la longueur de la priode obtenue. En utilisant ce dividende 1 en base 10 on obtient les dividendes secondaires 4, 10, 13, 16 et 19 dont la mme priode comporte 6 chiffres.

Choisissez donc le dividende  1  dun double-clic de souris sur la colonne des dividendes. Auparavant si vous avez dj modifi le nombre et la base, tapez  n21<Entre>  et  b10<Entre>  pour les initialiser conformment  cet exemple. 

Nous avons isol graphiquement par un savant coloriage (en jaune) le dividende voulu (1) appel dividende principal, ainsi que les dividendes secondaires, 4, 10,13,16 et 19 qui apparaissent dans le tableau  gauche de votre cran. Tous ces dividendes secondaires partagent le mme graphe de 1/21.

En ralit, deux tableaux vont safficher  gauche, par commodit. Appelons les provisoirement celui de gauche et celui de droite1. Celui de gauche contiendra les dividendes secondaires, appartenant au mme graphe jaune. Le tableau de droite1 contiendra les dtails du calcul pour la priode choisie. Il est partag en deux colonnes : dtails des calculs toutes les deux lignes et chiffres exprims par une formule de type A +NB o N varie de zro  linfini; par exemple pour 1/21 ou 4/21,10/21, 13/21, 16/21 et 19/21 en base 10 le graphe trouve les formules : (0+1n),(4+10n),(7+16n),(6+13n),(1+4n),(9+19n) reprables dans le graphique en jaune et suivent lordre (mme sil est changeant, lordre est respect) dans la colonne de droite du tableau de droite1.

En rsum, un double-clic sur un dividende secondaire du tableau de gauche fera safficher les dtails pour ce dividende secondaire.
Vous pouvez alors vous amuser  suivre dans la colonne de droite du tableau de droite1 des formules du chiffre de la priode choisie pour la retrouver sur le graphe. En lisant la colonne de droite du tableau des formules on verra de haut en bas et dans le mme ordre les formules  retrouver sur lcran principal, disposes arbitrairement dans le sens des aiguilles dune montre. 

Comme on a choisi le graphe de 1/21 en base 10 on obtient, en jaune, les 6 chiffres suivants: (0+1n), 4+10n),(7+16n),(6+13n),(1+4n),(9+19n). On retrouve la mme priode pour les dividendes secondaires 4/21, 10/21, 13/21, 16/21 et 19/21, qui gnrent le mme graphe en dcalant les chiffres dun ou plusieurs crans. Le chiffre 9+19n tant cach par les dtails du calcul, vous pouvez utiliser la souris pour changer la place des deux tableaux de gauche car ils empitent un petit peu sur la figure, et a fait mal. Pour viter lenchevtrement des graphes primaires et effacer les deux tableaux de gauche vous pouvez les effacer avec la touche <*>. Une deuxime pression sur cette touche vous permettra, si vous voulez vous reposer sur une figure, deffacer le tableau des dividendes primaires. Enfin une troisime pression sur <*> restaurera le tableau des dividendes primaires.

Il est temps maintenant pour vous dessayer toutes ces combinaisons faisant continument varier le nombre avec les flches curseur <haut> et <bas> ainsi que la base <droite> et <gauche>. 

On peut aussi appuyer sur la touche <Alt> en mme temps que <Bas>, <Haut>, <Droite> et <Gauche> pour nobtenir que des priodes uniques pour des nombre exclusivement premiers. 

Plus rapidement vous pouvez, si vous le voulez, taper n7 <Entre> pour constater que le graphe de 3/21 est similaire (aux formules prs) au graphe de 1/7 ce qui est normal car 3/21 est gal  1/7. Mais tapez plutt n37<Entre> pour observer les 12 triangles de n/37 en base 10. Il y a douze triangles de trois cots et 3*12=36=nombre-1=37*-1=n-1. Cela veut dire que la totalit des (n -1) dividendes est visite et la rsonnance de 37 en base 10 est maximale ; cela est normal car il est premier. Vous pouvez alors calculer linverse de la base 10 cest--dire le nombre quil faut multiplier par 10 pour que le rsultat de la division par 37 donne 1. Cest--dire 26*10= 260 = 7*37+1.

Vous pouvez encore rester sur 21 (Tapez n21<Entre>) puis sur Q, en double cliquant sur la premire colonne (8 ou 13), Vous obtenez la liste des carrs pour le nombre 21, cest  la dire les bases qui, multiplies par elles-mmes, valent 1, et se reprsentent graphiquement dune faon trs simple. En fonction du nombre, il peut ne pas y avoir de solution  lquation base leve au carr gal un. Le programme affiche alors :  pas de carr trouv .

Essayez de calculer les 12 sortes de priodes de 4000 en base 21. On obtient 19 priodes  un chiffre, 8 de 200 chiffres, 8 de 40, 8 de 50 etc. douze en tout et mme 2 priodes de 2.

Voil cest termin, vous savez utiliser lEuclidoscope, il me reste  me retirer en vous laissant mditer sur 211 en base 24 (n211<Entre>b24<Entre>).
Faites-vous des collections de vos meilleures trouvailles avant de les faire imprimer (tee-shirt, pins, nappe, vaisselle, etc.)

En rsum

Les flches curseurs <HAUT> ou <BAS> font varier le dnominateur
Les flches curseurs <DROITE> ou <GAUCHE> font varier la base 
<ALT> + FLECHES CURSEUR explorent les premiers et leurs priodes uniques
La touche <A> affiche un nombre et une base alatoire.
La touche <Z> est un gnrateur automatique de graphes alatoires (toutes les 5 seconde)
<B> permet d'entrer une base
<N> permet d'entrer un nombre (dnominateur)
<I> calcule et affiche la base inverse si elle existe
<F> fait apparaitre la clbre srie pour la base 10 avec 1/109 et 1/89.
<Q> permet de visualiser des carrs, c'est  dire une base b telle que b au carr vaut 1.
<Entre> permet d'afficher la longueur des priodes pour toutes les bases en fonction d' un nombre donn 
2 fois la touche <Echap> permet de quitter le programme

